5. Чеки-вознаграждения Кнута
Дональд Кнут написал несколько книг о компьютерах и информатике и создал оригинальный способ продать их: он предложил денежные вознаграждения для тех, кто найдет ошибки. Если вы нашли их, вы выигрываете шестнадцатеричный доллар. Нельзя сказать, что финансово впечатляет ($ 2.56), и фактически сама проверка стоит намного больше. Но эти чеки в значительной степени являются призом сами по себе. Кнут использовал чеки банка Of San Sarriff.
Никогда не слышали про такой банк? Это потому, что он выдуман. Он, очевидно, имеет филиалы на вымышленной планета Пинкус. Так что, если вы вдруг окажетесь в районе Пинкуса и вам понадобятся наличные, вы находитесь в хороших руках.
Но все-таки с этими вымышленными чеками возникла проблема. Хакеры использовали номера чеков Кнута, чтобы взломать его счет и украсть деньги. Как они узнали номер? Взволнованные люди, которые нашли ошибки и выиграли чек, фотографировали их и выкладывали в Интернет, еще раз доказав, что смысл книги и здравый смысл незнакомы друг с другом.
Гипотеза Пуанкаре (решена Григорием Перельманом)
Представьте резиновый шар. Если вы можете взять любую резиновую ленту, намотанную на этот шар, и сжать её (не отрывая от шара) до одной точки, то этот объект действительно «топологический шар». Гипотеза Пуанкаре утверждает, что это верно для всех аналогичных трехмерных объектов без дырок и складок. То есть, если на таком объекте можно сжать любой «круг» до точки, то этот объект на самом деле не отличается от обычного шара.
Грегори Перельман решил гипотезу Пуанкаре, работая над общим вопросом, который в математике известен как «задача геометризации трёхмерных многообразий». Для решения гипотезы Пуанкаре Перельман использовал и развивал теорию Ричарда Шона и Ричарда Хэмилтона о «потоке Риччи».
Вкратце, поток Риччи — это метод, который позволяет «сглаживать» геометрию многообразия. Можно представить это как процесс, который пытается сделать многообразие более «однородным» или «регулярным», изменяя его местную геометрию.
Работы Перельмана были тщательно проверены другими математиками и признаны корректными. За свой прорыв Перельман был предложен к награде с «Медалью Филдса», одной из самых престижных наград в математике, но он отказался от неё.
Перспективы решения
Один из главных вопросов, касающихся решения новых математических проблем, заключается в доступности информации. Для того чтобы многие математики могли начать работать над проблемами, им необходимо иметь доступ к современному оборудованию и вычислительным мощностям. Кроме того, всегда нужно поощрять научные исследования и обмен научной информацией, чтобы содействовать решению новых проблем.
Одним из способов повышения эффективности работы математиков является создание новых математических нотаций и методов. Это может быть как формализация новых принципов, так и разработка новых методов расчета. Часто для решения научных проблем нужен не только талант, но и настойчивость, преданность и усилия.
Не редко для решения хронических проблем требуется несколько лет научных исследований, прежде чем будет найдено удовлетворительное решение. Поэтому достижение многих научных целей зависит от того, насколько творчески искатели истины могут работать над решением проблемы. Некоторые научные проблемы могут оставаться нерешенными в течение десятилетий, а то и веков.
Несмотря на все трудности, которые возникают при решении математических задач, многие ученые продолжают работать над этими проблемами. Возможности, которые предоставляют современные компьютеры, позволяют искателям истины находить решения, которые не были доступны ранее из-за ограничений в вычислительной мощности и доступности данных. С другой стороны, независимо от компьютерных технологий, основы математических проблем и их решений все еще опираются на фундаментальные принципы и основы.
Что доказал Григорий Перельман
В 1900 году известный ученый-философ Анри Пуанкаре предположил, что всякое односвязное компактное 3-мерное многообразие без края гомеоморфно 3-мерной сфере. Ее доказательство в общем случае не находилось в течение века. Лишь в 2002-2003 годах петербургский математик Г. Перельман опубликовал ряд статей с решением проблемы Пуанкаре. Они произвели эффект разорвавшейся бомбы. В 2010 году гипотеза Пуанкаре была исключена из списка «Нерешенные задачи» института Клэйя, а самому Перельману было предложено получить полагающееся ему немалое вознаграждение, от которого последний отказался, не объяснив причин своего решения.
Самое понятное объяснение того, что удалось доказать российскому математику, можно дать, представив, что на бублик (тор), натягивают резиновый диск, а затем пытаются стянуть края его окружности в одну точку. Очевидно, что это невозможно. Другое дело, если произвести этот эксперимент с шаром. В таком случае вроде бы трехмерная сфера, получившаяся из диска, окружность которого стянули в точку гипотетическим шнуром, будет трехмерной в понимании обычного человека, но двумерной с точки зрения математики.
Пуанкаре предположил, что трехмерная сфера является единственным трехмерным «предметом», поверхность которой можно стянуть в одну точку, а Перельману удалось это доказать. Таким образом, список «Нерешаемые задачи» сегодня состоит из 6 проблем.
Приз от NASA за наноспутник
Призом в $ 2 млн ждет того, что сможет запустить маленький спутник на орбиту дважды за одну неделю. Именно два раза. Потому что любой дурак сможет отправить спутник на орбиту один раз на неделе. Черт побери, давно уже отправили.
Для двух спутников на орбите есть определенная причина, так что это не просто бесполезная работа. Цель NASA — показать, что спутники могут обходиться относительно дешево, в надежде на прирост интереса к частному их использованию. Так что, если вы радовались, запуская воздушного змея, приготовьтесь быть сильно униженными, так как человек, который сможет справиться с этим заданием будет наблюдать за вашим змеем из космоса.
Институт Клэйя
Под таким названием известна частная некоммерческая организация, штаб-квартира которой находится в Кембридже, штат Массачусетс. Она была основана в 1998 году гарвардским математиком А. Джеффи и бизнесменом Л. Клэйем. Целью деятельности института является популяризация и развитие математических знаний. Для ее достижения организация выдает премии ученым и спонсирует многообещающие исследования.
В начале 21 столетия Математический институт Клэйя предложил премию тем, кто решит проблемы, которые известны, как самые сложные нерешаемые задачи, назвав свой список Millennium Prize Problems. Из «Списка Гильберта» в него вошла только гипотеза Римана.
Задача Берча — Свиннертон-Дайера
К категории «Нерешенные задачи» относится и гипотеза, предложенная английскими учеными из Кембриджского университета. Еще 2300 лет назад древнегреческий ученый Эвклид дал полное описание решений уравнения x2 + y2 = z2.
Если для каждого из простых чисел посчитать количество точек на кривой по его модулю, получится бесконечный набор целых чисел. Если конкретным образом «склеить» его в 1 функцию комплексной переменной, тогда получится дзета-функция Хассе-Вейля для кривой третьего порядка, обозначаемая буквой L. Она содержит информацию о поведении по модулю всех простых чисел сразу.
Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер выдвинули гипотезу относительно эллиптических кривых. Согласно ей, структура и количество множества ее рациональных решений связаны с поведением L-функции в единице. Недоказанная на данный момент гипотеза Берча — Свиннертон-Дайера зависит от описания алгебраических уравнений 3 степени и является единственным сравнительно простым общим способом расчета ранга эллиптических кривых.
Чтобы понять практическую важность этой задачи, достаточно сказать, что в современной криптографии на эллиптических кривых основан целый класс асимметричных систем, и на их применении основаны отечественные стандарты цифровой подписи
Лифт 2010
Хорошо, призовой фонд здесь не самый большой (только $ 4 млн по сравнению с $ 25 млн Ричарда Брэнсона), но если эту задачу решить, все представление обо всем абсолютно поменяется.
Премия Лифт 2010 уйдет тому, кто спроектирует космический лифт. Это не метафора, в буквальном смысле лифт более чем 100 км, который сможет отправить в космическое пространство. Идеально подходит для матерей астронавтов, которые забыли свой обед дома перед выходом на работу на Международную космическую станцию.
Приз также делится на несколько частей
Если вы создадите экономически эффективный способ сделать так, чтобы лифт не ломался ( что очень важно, ведь снаружи кислорода нет), вы получите миллион долларов. Так что, если вы скорее «человек идеи», а не «человек дела» — это ваш шанс.
Команда из Сиэтла выиграла $ 900 000 несколько лет назад за разработку альпинистского троса длиной 914,4 м. Не совсем космос, но все равно чертовски высоко.
Сколько задач решено
Задачи, которые считаются «решенными», это те, для которых существует строгое математическое доказательство решения. К сожалению, нельзя точно назвать число решенных задач, но есть несколько известных задач, которые были решены за последнее тысячелетие.
- Теорема Ферма — одна из наиболее известных задач, которая была решена в 1994 году Г. Андрю. Эта теорема утверждает, что уравнение aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет целочисленных решений для n больше 2.
- Теория множеств и теория чисел — две области математики, которые значительно развивались в последнее тысячелетие и которые имеют множество решенных задач.
- Проблема Пуанкаре — решена в 2003 году Г. Перельманом, и является одной из семи задач тысячелетия, поставленных в 2000 году.
- Теорема о классификации конечных простых групп — одна из наиболее сложных задач в истории математики, которая была решена в 1983 году. Ее решение заняло более 10 лет работы нескольких математиков.
Также, существует множество задач, для которых были найдены некоторые частные решения, но нет строгого доказательства их правильности. Эти задачи продолжают быть объектом изучения математиков по всему миру.
Вопрос-ответ:
Какие задачи были решены в тысячелетие?
За тысячелетие было решено множество сложных математических задач, в том числе задачи теории чисел, геометрии, топологии и других областей.
Какие еще знаменитые задачи были решены в тысячелетие?
Кроме задачи Пуанкаре и задачи Ферма, было решено множество других знаменитых задач, например, задача Бирча-Суиннартона, задача Гомори, задача Ландау-Ченга и другие.
Какие математические открытия были сделаны в тысячелетие?
За тысячелетие были сделаны множество математических открытий, в том числе теория вероятности, суперсимметрия, гомотопическая теория и другие.
Можно ли утверждать, что все большие математические задачи уже решены?
Точно утверждать нельзя, так как всегда остаются открытые вопросы, но за тысячелетие были решены множество сложных задач, которые ранее казались неразрешимыми.
Проект Methuzelah Mouse (Mprize)
Проводя эксперименты над мышами в лаборатории, ученые обнаружили печальную закономерность: мыши имеют очень короткий срок службы. Так как многие эксперименты связаны с жизнью человека, результаты, как правило, не являются полными и крайне неточны.
Поэтому, если вы сможете вырастить, генетически изменить, модифицировать или иным способом заставить мышей жить больше пяти лет, то вы получите $ 4 млн. Это может помочь ученым изучить долгосрочные риски здоровью, и в значительной степени ускорить темп развития науки.
Кроме того, это достижение поможет в исследовании долголетия человека. Вы получите еще $4 млн, если найдете способ, как не просто продлить жизнь мышам, но и сохранить их здоровье в течение новой старости.
В принципе, это попытки ученых продлить жизнь человека. Возможно, тогда бессмертный Халк Хоган оправдает свое имя.
Нерешенные проблемы
P против NP
Вопрос в том, действительно ли Для всех проблем, для которых алгоритм может быстро проверить данное решение (то есть за ), алгоритм также может быстро найти это решение. Поскольку первый описывает класс проблем, называемых NP, а второй описывает P, вопрос эквивалентен вопросу, все ли проблемы в NP также находятся в P. Это обычно считается одним из самых важных открытых вопросов в математике и теоретическая информатика, поскольку она имеет далеко идущие последствия для других проблем в математике, а также в биологии, философии и криптография (см. ). Типичным примером проблемы NP, не имеющей отношения к P, является проблема логической выполнимости.
Большинство математиков и компьютерных ученых ожидают, что P ≠ NP; однако она остается недоказанной.
Официальная постановка проблемы была дана Стивеном Куком.
гипотезой Ходжа
Гипотеза Ходжа состоит в том, что для проективного алгебраические многообразия, циклы Ходжа — это рациональные линейные комбинации алгебраических циклов.
Официальная постановка задачи была дана Пьером Делинем.
Гипотеза Римана
Гипотеза Римана состоит в том, что все нетривиальные нули аналитического продолжения дзета-функции Римана имеют действительную часть / 2. Доказательство или опровержение этого будет иметь далеко идущие последствия в теории чисел, особенно для распределения простых чисел
Это была восьмая проблема Гильберта, и спустя столетие она до сих пор считается важной открытой проблемой
Официальную постановку проблемы дал Энрико Бомбьери.
Существование Янга – Миллса и разрыв масс
В физике классическая теория Янга – Миллса является обобщением теории Максвелла электромагнетизма, где само хромо-электромагнитное поле несет заряд. Как классическая теория поля, у нее есть решения, которые движутся со скоростью света, так что ее квантовая версия должна описывать безмассовые частицы (глюоны ). Однако постулируемое явление ограничения цвета допускает только связанные состояния глюонов, образующих массивные частицы. Это разрыв между массами. Другой аспект ограничения — это асимптотическая свобода, что делает возможным существование квантовой теории Янга-Миллса без ограничения низкоэнергетическими масштабами. Проблема состоит в том, чтобы строго установить существование квантовой теории Янга – Миллса и массовой щели.
Официальная постановка проблемы была дана Артуром Джаффе и Эдвардом Виттеном.
Существование и плавность Навье – Стокса
Навье– Уравнения Стокса описывают движение жидкости и являются одним из столпов механики жидкости. Однако теоретическое понимание их решений неполное. В частности, решения уравнений Навье – Стокса часто включают турбулентность, общее решение которой остается одной из самых нерешенных проблем в физике, несмотря на его огромное значение в науке и технике.
Даже основные свойства решений Навье – Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики еще не доказали, что гладкие решения всегда существуют всегда. Это называется проблемой существования и гладкости Навье – Стокса.
Проблема состоит в том, чтобы продвинуться к математической теории, которая даст представление об этих уравнениях, доказав, что либо существуют гладкие, глобально определенные решения, которые удовлетворяют определенным условиям, либо что они не всегда существуют, и уравнения нарушаются вниз.
Официальная постановка проблемы была дана Чарльзом Фефферманом.
Гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера касается некоторых типов уравнений: определение эллиптических кривых над рациональными числами. Гипотеза состоит в том, что существует простой способ определить, есть ли у таких уравнений конечное или бесконечное число рациональных решений. Десятая проблема Гильберта имела дело с уравнениями более общего типа, и в этом случае было доказано, что нет никакого способа решить, имеет ли данное уравнение какие-либо решения.
Официальную постановку задачи дал Эндрю Уайлс.
История[]
Из определения классов P и NP сразу вытекает следствие: P⊆NP{\displaystyle P\subseteq NP}. Однако до сих пор ничего не известно о строгости этого включения, т. е. существует ли задача, лежащая в NP, но не лежащая в P. Если такой задачи не существует, то все задачи, принадлежащие классу NP, можно будет решать за полиномиальное время, что сулит огромную выгоду с вычислительной точки зрения. Сейчас самые сложные задачи из класса NP (так называемые NP-полные задачи) можно решить за экспоненциальное время, что почти всегда неприемлемо.
Впервые вопрос о равенстве классов был поставлен Стивеном Куком в 1971 году и независимо Леонидом Левиным в 1973 году.
В настоящее время большинство математиков считают, что эти классы не равны. Согласно опросу, проведённому в 2002 году среди 100 учёных, 61 человек считает, что ответ — «не равны», 9 — «равны», 22 затруднились ответить и 8 считают, что гипотеза не выводима из текущей системы аксиом и, таким образом, не может быть доказана или опровергнута.
Задачи тысячелетия математического института Клэя
В 2000 году математический институт Клэя представил список из семи самых печально известных математических проблем. И тому, кто решит хотя бы одну, получит $1 млн. С 2000 года была решена только одна из них.
Григорий Перельман, российский математик, доказал теорему Пуанкаре, разрешить которую пытались аж с 1904 года. Тем не менее, он потратил столько лет на эту проблему, что в значительной степени выпал из общества, отказавшись от медали Филдса (высшей награды в математике) и никогда не претендовав на миллион долларов, сославшись на свое разочарование в математике. Так что, если вы хотите сойти с ума подобным образом, вас ожидают еще шесть задач.
Одной из таких проблем является решение уравнения P = NP. Задача впервые была предложена в 1971 году. Нестрого говоря, проблема равенства P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти.
Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, …} есть такие, что их сумма равна 0 (задача о суммах подмножеств)? Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом). Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее, но это не доказано.
Уловили? В принципе, это решение одной проблемы дважды, только числа меняются. В настоящее время это крупнейшая проблема в теоретической информатике. Было множество людей, которые пробовали свои силы, но все они потерпели неудачу. Ближе всего к решению были в 2010 году, решив только часть задачи.
Гипотеза Ходжа
В 1941 году профессор Кембриджа Вильям Ходж предположил, что любое геометрическое тело можно исследовать как алгебраическое уравнение и составить его математическую модель.
Если подойти с другой стороны к описанию этой гипотезы, то можно сказать, что исследовать любой объект удобнее тогда, когда его можно разложить на составные части, а уже эти части исследовать. Однако здесь мы сталкиваемся с проблемой: исследуя отдельно взятый камень, мы не можем сказать фактически ничего о крепости, которая построена из таких камней, о том, сколько в ней помещений, и какой они формы. Кроме того, при составлении изначального объекта из составных частей (на которые мы его разобрали) можно обнаружить лишние части, либо напротив — недосчитаться.
Достижение Ходжа в том, что он описал такие условия, при которых не будут возникать «лишние» части, и не будут теряться необходимые. И все это при помощи алгебраических вычислений. Ни доказать его предположение, ни опровергнуть математики не могут уже 70 лет. Если это получится у вас — станете миллионером.
Гипотеза Ходжа
Формулировка этой гипотезы выглядит так: «На любом невырожденном проективном комплексном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа представляет собой рациональную линейную комбинацию классов алгебраических циклов». Нужно доказать или опровергнуть это утверждение.
О чем речь? Решения уравнения у = Зх + 1 можно представить на координатной сетке как прямую. Корни квадратного уравнения дадут нам параболу. Усложнять можно бесконечно — например, поверхности с таким уравнением
соответствует этот график:
Изображение: Claudio Rocchini / wikipedia.org
Математики не ограничивают себя тремя измерениями. К примеру, в четырехмерном пространстве у объекта будет четыре координаты (х, у, z, w). Измерений может быть сколько угодно, число уравнений и переменных тоже может быть любым (не пытайтесь это представить). К тому же переменные могут быть комплексными и принимать бесконечные значения разумным образом.
Гипотеза Ходжа говорит о глубокой связи между топологией, алгеброй, геометрией и анализом. Она предлагает добавить в инструментарий специалиста по алгебраической геометрии два новых инструмента: топологические инварианты и . Если гипотеза верна, эти инструменты обретут новое значение и станут потенциальным средством поиска ответов на множество вопросов.
Чтобы разместить новость на сайте или в блоге скопируйте код:
На вашем ресурсе это будет выглядеть так
Шесть задач, за решение которых заплатят миллион долларов
Выходные — хороший шанс отвлечься от повседневности и заняться по-настоящему важными вопросами. Предлагаем вам шесть самых сложных математических задач,…
Классы P и NP[]
В конечном счете проблема P = NP состоит в следующем: если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро проверить (за полиномиальное время), то правда ли, что ответ на этот вопрос можно быстро найти (за полиномиальное время и используя полиномиальную память)?
Неформально говоря, действительно ли решение задачи легче проверить, нежели отыскать?
Например, верно ли, что среди чисел {−2, −3, 15, 14, 7, −10, …} есть такие, что их сумма равна (задача о суммах подмножеств)?
Ответ да, потому что −2 −3 + 15 −10 = 0 легко проверяется несколькими сложениями (информация, необходимая для проверки положительного ответа, называется сертификатом).
Следует ли отсюда, что так же легко подобрать эти числа? Проверить сертификат так же легко, как найти его? Кажется, что подобрать числа сложнее (не доказано).
Паранормальное соревнование
Приз в $ 1 млн предложил Образовательный фонд Джеймса Рэнди любому, кто сможет доказать, что паранормальные явления реальны. Впервые, это заявление было сделано Рэнди в гостях на радио-шоу в Великобритании в 1968 году. Звонивший сказал Рэнди, что ему следует поумерить свой скептицизм, тогда он предложил $ 100 первому, кто сможет доказать, что призраки или привидения существуют. С тех пор он все увеличивал и увеличивал награду, пока она не составила $1 млн.
Но это не так-то просто. Одних разговоров с призраками с помощью доски для спиритических сеансов мало. Вы должны представить уйму доказательств, пройти кучу интервью и тестов, чтобы удовлетворить все правила. И даже тогда правила гласят, что Рэнди не признает, что сверхъестественное реально, он просто скажет, что вам удалось пройти испытание, вернет ваши деньги и останется при своем мнении.
Не то, чтобы подобный инцидент имел место быть. С 1968 года никто не прошел и даже не был близок к выигрышу. Некоторые медиумы, Сильвия Браун и Розмари Альтеа нашли отговорки, чтобы в этом не участвовать, либо попытались, но с треском провалились.
Задачи тысячелетия
Чтобы грамотно подступиться к задаче равенства классов P и NP, сперва необходимо сделать небольшое отступление касательно института Клэя и списка из 7 задач тысячелетия.
Математический институт Клэя — это частная некоммерческая организация, которая занимается спонсированием многообещающих математиков и в целом распространением математических знаний. Этот институт известен благодаря публикации списка из 7 задач тысячелетия, каждая из которых представляет собой классическую математическую задачу, которая не решена на протяжении очень долгого времени. Помимо этого, за верное решение любой из 7 проблем объявлено вознаграждение в виде 1 000 000 долларов США. На сегодняшний момент из всего списка решена лишь 1 задача — гипотеза Пуанкаре, решение которой принадлежит российскому математику Григорию Перельману.
Как нетрудно догадаться, равенство классов P и NP является одной из 7 задач в данном списке, что подчеркивает её колоссальную сложность и фундаментальность.
5. Задача о существовании Янга-Миллса и массовой щели
Теории Янга-Миллса — это класс квантовых полевых теорий, которые являются обобщениями квантовой электродинамики . Эти теории играют центральную роль в стандартной модели частиц, описании элементарных частиц и их взаимодействий, за исключением гравитации.
Простыми словами это можно описать так. Представьте, что вселенная напоминает огромный «океан» с различными частицами, которые взаимодействуют друг с другом. Эти взаимодействия подобны тому, как вода в океане двигается в волнах и потоках.
Научные теории, такие как квантовая механика, пытаются описать, как эти частицы взаимодействуют, и что заставляет их двигаться определенным образом. Теория Янга-Миллса — это одна из таких теорий, и она описывает взаимодействие частиц в определенных условиях.
Теперь о задаче:
Ученые хотят узнать, существует ли «самое оптимальное» или «самое естественное» состояние для этих частиц в рамках теории Янга-Миллса.
Даже если частицы не взаимодействуют, они все равно имеют некоторую энергию или «массу». «Массовая щель» это разница между минимальной энергией, которую частица может иметь, и полной отсутствием энергии. Ученые хотят понять, почему эта «щель» существует.
Что даст решение?
Теории Янга-Миллса являются ключевыми компонентами Стандартной модели частиц. Подтверждение или опровержение их математической целостности будет иметь огромное значение для нашего понимания фундаментальных взаимодействий во Вселенной.
Если установлено, что теории Янга-Миллса не могут быть сформулированы в согласованной математической теории, это может указать на необходимость новых подходов или модификаций в физике частиц.
Эта задача связывает физику и математику. Её решение может привести к новым методам в математической физике.
Так P равно NP или нет?
Большинство современных специалистов сходится во мнении, что P не равно NP. Некоторое интуитивное объяснение этому мы уже давали: на протяжении десятилетий лучшие умы компьютерных наук пытались построить быстрые алгоритмы для задач из классов NP и NP-complete, но это ни разу не увенчалось успехом. Кроме того, в 2002 и 2012 годах было проведено голосование «равны ли P и NP» с четырьмя вариантами ответов: нет, да, не уверен, вопрос независим с современной системой аксиом и поэтому теорему невозможно доказать или опровергнуть. Результаты были следующими (в процентах): 61/83, 9/9, 22/5, 8/3. Другими словами, в рамках последнего голосования 83 процента опрошенных верят, что P не равно NP.
Вот вы и познакомились с одной из наиболее значимых задач нашего поколения, которая имеет огромный практический вес. Особенно если будет доказано равенство классов P и NP. Впрочем, это, возможно, произойдёт ещё совсем нескоро.
2. Гипотеза Римана
Гипотеза Римана является одной из величайших нерешенных задач в математике и относится к области теории чисел.
Представьте линию, на которой отмечены все целые числа: …,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… И есть еще одна особенная последовательность чисел на этой линии, которые называются «простыми» (например, 2, 3, 5, 7 и так далее). Простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на себя.
Математики давно заметили, что простые числа распределены довольно загадочным образом, и хотят понять этот порядок. Гипотеза Римана связана с попыткой понять этот «загадочный порядок».
Для этого математики используют не просто линию с числами, но и сложный математический объект, называемый «зета-функцией Римана». Гипотеза Римана утверждает, что особые точки этой функции (называемые «нулями») располагаются определенным способом. Если гипотеза верна, это бы помогло нам лучше понять распределение простых чисел.
Иными словами, гипотеза Римана — это предположение о том, как связаны определенные математические объекты, что, в свою очередь, может помочь нам понять «загадку» простых чисел.
Что даст её решение?
Простые числа играют ключевую роль в математике и криптографии. Понимание их природы и распределения может иметь важные теоретические и практические последствия.
Многие результаты в разных областях математики основаны на предположении, что гипотеза Римана верна. Если она будет доказана или опровергнута, это может привести к новым результатам и корректировкам в этих областях.
Нерешённые задачи[править | править код]
Равенство классов P и NPправить | править код
Если положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
Гипотеза Ходжаправить | править код
Важная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.
Гипотеза Риманаправить | править код
Гипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз).
Теория Янга — Миллсаправить | править код
Задача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы G{\displaystyle G} квантовая теория Янга — Миллса для пространства R4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую . Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
Почему это важно?
Алгоритмы для решения задач из класса NP используются каждый день в огромном количестве областей. Например, при восстановлении частично поврежденных файлов, разложении числа на простые множители в криптографии, оптимизации различных маршрутов и размеров доставляемых товаров в логистике и так далее.
Значительно более эффективное решение подобных проблем могло бы сэкономить серьёзные деньги, а также время, поскольку с современными алгоритмами мы не можем решить достаточно быстро, и нам приходится довольствоваться лишь приближенными решениями.
Помимо этого, в современной биоинформатике нет дефицита в сложных вычислительных проблемах и более быстрые алгоритмы позволили бы вывести анализ различных болезней на совершенно новый уровень, что помогло бы спасать куда больше жизней.
1. Гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера
Гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера – это одна из ключевых нерешенных задач в теории чисел. Она касается свойств эллиптических кривых, что является важным объектом изучения в современной математике.
Итак, представьте себе график, нарисованный на листе бумаги. Эллиптическая кривая — это особый тип графика, который выглядит как набор изогнутых линий. На этом графике можно выделить особые точки, которые имеют определенные интересные свойства.
Теперь, представьте, что у нас есть способ подсчитать эти точки. Некоторые из этих кривых имеют бесконечно много таких точек, а некоторые — только конечное число.
Гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера, в основе своей, гласит: если определенный аспект (называемый «ранг») этой кривой большой, тогда у кривой будет бесконечно много точек. И наоборот, если этот «ранг» небольшой, у кривой будет только конечное число таких точек.
Что даст решение?
Гипотеза Бирча и Свиннертона-Дайера — одна из центральных проблем в современной арифметической геометрии. Если эта гипотеза будет доказана или опровергнута, это приведет к ряду последствий и применений:
Доказательство или опровержение гипотезы уточнило бы наше понимание связи между арифметикой эллиптических кривых и их геометрией. Это может привести к новым методам или инструментам в математическом исследовании.
Большинство современных гипотез в арифметической геометрии связаны между собой, и решение одной может дать подсказки или указания к решению других.
Эллиптические кривые играют важную роль в современной криптографии. Понимание их свойств и структуры может привести к созданию более безопасных или более эффективных криптографических систем.
Попытки доказательства[]
6 августа 2010 года сотрудник исследовательской лаборатории Hewlett-Packard в Пало-Альто Винэй Деолаликар (англ.) разослал некоторым ученым на проверку своё доказательство неравенства P и NP.Стивен Кук назвал его препринт «относительно серьезной попыткой решения проблемы P vs NP». Однако уже в том же месяце были найдены недостатки в доказательстве. Деолаликар заявил, что в следующей версии доказательства он постарается учесть все замечания.
На викистранице «Deolalikar P vs NP paper», связанной с проектом Polymath, приводится критический анализ, собраны предполагаемые ошибки и некоторые опечатки в работе Деолаликара. Там же можно проследить за онлайн-реакцией на предложенное доказательство.