Анри Пуанкаре
Анри Пуанкаре — один из самых блистательных представителей французской науки. Он родился в 1854 году в семье, занимавшей весьма почтенное положение в обществе: достаточно упомянуть, что Анри приходился двоюродным братом Раймону Пуанкаре, пять раз занимавшему пост премьер-министра Франции, а с 1913 по 1920 годы, в тяжелое время Первой мировой войны, — пост президента страны.
За свою жизнь Анри Пуанкаре успел поработать во многих областях науки: комплексном анализе, небесной механике, алгебраической геометрии, теории чисел и, конечно, топологии, в которой он и сформулировал носящую его имя гипотезу. Не все знают, что Пуанкаре стоял у истоков теории относительности: долгое время он сотрудничал с Хендриком Лоренцом (кстати, преобразования Лоренца получили имя великого голландца именно с легкой руки Пуанкаре) и еще в 1898 году, задолго до Эйнштейна, в работе «Измерение времени» сформулировал принцип относительности, а затем даже ввел четырехмерное пространство-время, теорию которого в сотрудничестве с Эйнштейном позднее разработал Герман Минковский. Примечательно, что сам Эйнштейн очень долго отрицал всякое знакомство с трудами Пуанкаре и не ссылался на него вплоть до начала двадцатых годов (!), однако впоследствии все же признал заслуги французского математика.
Доказательство гипотезы Пуанкаре
11 ноября 2002 года на одном из крупных порталов научных публикаций в интернете появилась статья петербургского математика Григория Перельмана, в которой он приводил доказательства гипотезы Пуанкаре.
Таким образом, гипотеза стала первой решенной задачей тысячелетия – так называют математические вопросы, ответы на которые не могут найти уже много лет. Восемь лет спустя Математический институт Клэя присудил ученому за это достижение премию в размере одного миллиона долларов США, но Перельман отказался от нее, заявив, что не нуждается в деньгах и, кроме того, не согласен с официальным математическим сообществом.
Отказ небогатого математика от крупной суммы вызвал удивление во всех слоях общества. За это и за свой затворнический образ жизни Перельмана называют самым странным российским ученым.
Поток Риччи с хирургией
Программа Гамильтона для доказательства гипотезы Пуанкаре включает в себя сначала размещение Риманова метрика на неизвестном односвязном замкнутом трехмерном многообразии. Основная идея — попытаться «улучшить» эту метрику; например, если метрика может быть улучшена настолько, чтобы она имела постоянную положительную кривизну, то, согласно классическим результатам римановой геометрии, это должна быть 3-сфера. Гамильтон предписал «уравнения потока Риччи » для улучшения метрики;
- ∂ tgij = — 2 R ij {\ displaystyle \ partial _ {t} g_ {ij} = — 2R_ {ij}}
где g — метрика, а R — кривизна Риччи, и можно надеяться, что время t увеличивается, и становится легче понять коллектор. Поток Риччи расширяет часть коллектора с отрицательной кривизной и сжимает часть с положительной кривизной.
В некоторых случаях Гамильтон смог показать, что это работает; например, его первоначальный прорыв состоял в том, чтобы показать, что если риманово многообразие имеет положительную кривизну Риччи всюду, то описанная выше процедура может выполняться только для ограниченного интервала значений параметров, t ∈ [0, T) {\ displaystyle t \ in [0, T)}с T и, что более важно, есть числа ct {\ displaystyle c_ {t}}такие, что t T {\ displaystyle t \ nearrow T}, римановы метрики ctg (t) {\ displaystyle c_ {t} g (t)}плавно сходятся к один постоянной положительной кривизны. Согласно классической римановой геометрии, единственное односвязное компактное многообразие, которое может поддерживать риманову метрику постоянной положительной кривизны, — это сфера
Итак, по сути, Гамильтон показал частный случай гипотезы Пуанкаре: если компактное односвязное трехмерное многообразие поддерживает риманову метрику положительной кривизны Риччи, то оно должно быть диффеоморфно трехмерной сфере.
Если вместо этого имеется только произвольная риманова метрика, уравнения потока Риччи должны привести к более сложным особенностям. Основное достижение Перельмана состояло в том, чтобы показать, что с определенной точки зрения, если они появляются в конечном времени, эти сингулярности могут выглядеть только как сжимающиеся сферы или цилиндры. Обладая количественным пониманием этого явления, он разрезает многообразие по сингулярностям, разбивая многообразие на несколько частей, а затем продолжает поток Риччи на каждой из этих частей. Эта процедура известна как поток Риччи с хирургическим вмешательством.
Перельман представил отдельный аргумент, основанный на потоке сокращения кривой, чтобы показать, что на односвязном компактном 3-многообразии любое решение потока Риччи с хирургией исчезает за конечное время. Альтернативный аргумент, основанный на теории минимума и максимума минимальных поверхностей и геометрической теории меры, был предоставлен Тобиасом Колдингом и Уильямом Миникоцци. Следовательно, в односвязном контексте все, что имеет значение, — это описанные выше феномены конечного времени потока Риччи с хирургией. Фактически, это верно даже в том случае, если фундаментальная группа является свободным произведением конечных групп и циклических групп.
Это условие на фундаментальную группу оказывается необходимым и достаточным для вымирания за конечное время. Это равносильно утверждению, что простое разложение многообразия не имеет ациклических компонентов и оказывается эквивалентным условию, что все геометрические части многообразия имеют геометрию, основанную на двух геометриях Терстона S × R и S. В контексте того, что никто не делает никаких предположений о фундаментальной группе вообще, Перельман провел дальнейшее техническое исследование предела многообразия для бесконечно больших времен и тем самым доказал гипотезу о геометризации Терстона: на больших временах многообразие имеет разложение толстый-тонкий, толстый кусок которого имеет гиперболическую структуру, а тонкий фрагмент представляет собой графовое многообразие. Однако из-за результатов Перельмана, Колдинга и Миникоцци эти дальнейшие результаты не нужны для доказательства гипотезы Пуанкаре.
Cookie файлы бывают различных типов:
Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.
Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.
Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.
Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.
Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.
О гипотезе Пуанкаре
Загадка, разгаданная российским гением, затрагивает основы раздела математики, именуемого топологией. Топологию часто называют «геометрией на резиновом листе». Она имеет дело со свойствами геометрических форм, которые сохраняются, если форма растягивается, скручивается, изгибается. Иными словами, деформируется без разрывов, разрезов и склеек.
Топология важна для математической физики, поскольку позволяет понять свойства пространства. Или оценить его, не имея возможности взглянуть на форму этого пространства со стороны. Например, на нашу Вселенную.
Говоря о гипотезе Пуанкаре, начинают так: представьте себе двухмерную сферу – возьмите резиновый диск и натяните его на шар. Так, чтобы окружность диска оказалась собранной в одной точке. Аналогичным образом, к примеру, можно стянуть шнуром спортивный рюкзак. В итоге получится сфера: для нас –трехмерная, но с точки зрения математики – всего лишь двухмерная.
Доказательство помогает понять, какая форма у нашей Вселенной. И позволяет весьма обоснованно предположить, что она и есть та самая трехмерная сфера. Но если Вселенная – единственная «фигура», которую можно стянуть в точку, то, наверное, можно и растянуть из точки. Что служит косвенным подтверждением теории Большого взрыва, которая утверждает: как раз из точки Вселенная и произошла.
Получается, что Перельман вместе с Пуанкаре огорчили так называемых креационистов — сторонников божественного начала мироздания. И пролили воду на мельницу физиков-материалистов.
С этой книгой читают
Григорий Распутин-НовыйВарламов Алексей Николаевич
Книга известного писателя Алексея Варламова посвящена не просто одной из самых загадочных и скандальных фигур русской истории. Распутин — ключ к пониманию того, что…
4
(5)
Правда о Григории Распутине Боханов Александр Николаевич
В комплект вошли 2 книги, написанные А.Н.Бохановым о Распутине.
3.8
(4)
Земля и космос. От реальности к гипотезеАйзек Азимов
Как появилась астрология и есть ли в ней рациональное зерно? Что такое «редкие земли»? Сколько времени будет продолжаться современный рост населения Земли и как можно…
4.8
(5)
Природа времени: Гипотеза о происхождении и физической сущности времениБич Анатолий Макарович
Ответ на простой вопрос `Что такое время?` человечество ищет уже сотни лет. По мнению автора, время — это энергетическое состояние материи, ее проявление и отражение в…
3.7
(2)
Григорий РаспутинТелицын Вадим Леонидович
Григорий Распутин… Кто он? Дьявол во плоти или пророк прозорливый и магический целитель? Книга рассказывает о многих ранее не известных фактах…
1
(1)
Отвергнутая наука. Самые невероятные теории, гипотезы, предположенияДжон Грант
«Отвергнутая наука» Джона Гранта — увлекательное и полное собрание самых невероятных теорий, гипотез и предположений, которые были популярны в разные периоды мировой…
4.6
(2)
Россия, которой не было 1. Загадки, версии, гипотезыБушков Александр
А. Бушков – самый издаваемый российский автор, «Король русского боевика».В этой книге выступает в новом качестве, выстраивая свою увлекательную, порой парадоксальную…
4.3
(4)
Тайный агент Григорий Свешников Джемм Алиса
… объявился в их столице неуловимый насильник, множественный убийца и вор в одном лице. Незримой тенью он проникал в любые места, куда только желал: хоть в…
4.8
(1)
Что такое гипотеза Пуанкаре?
Формулировка гипотезы в оригинале звучит так: «Всякое компактное односвязное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере».
Шар – это геометрическое трехмерное тело, его поверхность называется сферой, она двумерна и состоит из точек трехмерного пространства, которые равноудалены от одной, не принадлежащей этой сфере, точки – центра шара. Кроме двумерных сфер, существуют еще трехмерные сферы, состоящие из множества точек четырехмерного пространства, которые так же равноудалены от одной, не принадлежащей сфере, точки – ее центра. Если двухмерные сферы мы можем увидеть собственными глазами, то трехмерные не подвластны нашему зрительному восприятию.
Поскольку мы не имеем возможности увидеть Вселенную, то можно предположить, что она и есть трехмерная сфера, в которой живет все человечество. В этом и состоит сущность гипотезы Пуанкаре. А именно то, что Вселенная имеет следующие свойства: трехмерность, бескрайность, односвязность, компактность. Понятие «гомеоморфность» в гипотезе означает высочайшую степень схожести, подобия, для случая со Вселенной – неотличимость.
Почему Перельман стал отшельником
Узнать о причинах затворничества у самого математика еще не удалось никому. Поэтому остается довольствоваться словами его близких людей, которых можно сосчитать по пальцам.
Бывшая классная руководительница Григория сообщила, что она до сих пор поддерживает теплые отношения со своим бывшим учеником. О причинах отшельничества она говорит просто «Гриша устал от внимания». Такого же мнения придерживается и мать ученого Любовь Лейбовна. Она пояснила, что в тишине и спокойствии им комфортно и хорошо. Любовь Лейбовна полностью согласна с решением сына отказаться от миллионных выплат.
Сейчас Григорий официально не работает. Целыми днями решает задачи и ищет доказательства для еще не доказанных теорем. И он счастлив, так как занимается любимым делом, не отвлекаясь на мелочи.
О книге
В последнее время люди всё больше подвержены стрессу и эмоциональному переутомлению. Как избавится от душевного напряжения и поднять себе настроение? Справиться с этой задачей непременно поможет чтение. С книгами жизнь становится интереснее и веселей, а многие жизненные неурядицы кажутся не такими уж и серьезными.
Достойное место в литературе жанра математические науки отведено книге «Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре» Арсенов Олег Орестович
Обращая внимание на многие глубокие вопросы современности, автор делится с нами своими ощущениями и переживаниями. Детально проработанные персонажи, удивительный сюжет и тонкое описание чувств и эмоций — всё это непременно отвлечет Вас и завладеет Вашим вниманием
Кое-что об истории и ошибках
Нужно сказать, что гипотеза Пуанкаре не сразу привлекла внимание математиков. Напротив, работа французского ученого, в которой и была сформулирована знаменитая задача, прошла незамеченной
Лишь спустя три десятка лет была сделана первая попытка найти доказательство — британский ученый Джон Уайтхед представил свой вариант решения гипотезы. И тогда даже показалось, что она доказана, но… именно показалось — Уайтхед сделал ряд ошибок, и гипотеза Пуанкаре так и осталась загадкой.
Однако вот что удивительно: допущенные неточности вошли в историю. Дело в том, что работа ученого положила начало новой теории многообразий (названной в его честь), которая сейчас имеет немалое научное и практическое значение.
Только после Уайтхеда ученые обратили внимание на гипотезу Пуанкаре и поднятую в ней проблему. И с тех пор математики уже не прекращали попыток найти доказательства
Однако на протяжении следующих шести с небольшим десятилетий успеха в этом направлении добиться так и не удалось.
Конечно, говорить о полной неудаче было бы некорректно. Гипотеза Пуанкаре была сформулирована только для трехмерных поверхностей, но мы уже знаем, что в топологии рассматриваются пространства с любым количеством измерений. Значит, данная гипотеза в общем случае может быть приложена к пространствам и поверхностям с любым количеством измерений. Поэтому математики искали ее доказательство не только для трехмерных, но и для многообразий с большим количеством измерений.
Нужно сказать, что в деле поиска решений задачи Пуанкаре для многомерных пространств были достигнуты отличные результаты. К 1982 году были найдены доказательства для поверхностей с количеством измерений от четырех (этот случай оказался одним из самых сложных, но именно он был решен первым) до семи и более. А вот исходный вариант гипотезы — для трехмерных поверхностей — оставался неприступным, и за него уже брались немногие.
Значительную роль сыграло несколько ученых, усилиями которых были созданы непонятные для неспециалистов, но важные для математики теории и инструменты. В частности, в 1980-х годах американский ученый Ричард Гамильтон наметил план доказательства гипотезы Пуанкаре с использованием математического инструмента, названного потоком Риччи.
Как раз основываясь на достижениях Гамильтона, наш гениальный соотечественник Григорий Яковлевич Перельман и вывел свое доказательство гипотезы, которое стало общепризнанным и прославило ученого.
Еще в 1992 году Григорий Перельман приехал в США (в то время он уже был известен в научных кругах), где прочитал цикл лекций и познакомился с Ричардом Гамильтоном. Ученые обменялись соображениями по поводу гипотезы Пуанкаре, и Перельман посчитал, что американский коллега близок к ее решению. Позже российский ученый периодически узнавал, как обстоят дела у Гамильтона, и убеждался, что тот так и не продвинулся в вычислениях.
Перельман продолжил работать над гипотезой, и спустя годы упорной работы в Интернете (2002 год) появились три его статьи, в которых фактически содержалось полное доказательство гипотезы Пуанкаре.
Научное сообщество заинтересовалось, а Перельман, в свою очередь, подлил масла в огонь, представив окончательное решение великой задачи. Однако только через четыре года стало ясно, что доказательство, над поисками которого билось несколько сотен профессионалов на протяжении века, наконец-то найдено. При этом оно отличается простотой и изяществом. И нужно заметить, что его проверкой на протяжении этих четырех лет занимались сразу три (!) группы ученых-математиков в разных университетах.
Кстати, а при чем здесь ошибки? При том, что во время поисков доказательства гипотезы Пуанкаре ошибся не только Уайтхед, но и еще ряд ученых, и все эти неточности привели к созданию десятков топологических теорий, задач, инструментов и даже отдельных направлений в науке.
Кто такой Пуанкаре?
Жюль Анри Пуанкаре – величайший математик, который родился в 1854 году во Франции. Его интересы не ограничивались только математической наукой, он изучал физику, механику, астрономию, философию. Был членом более 30 научных академий мира, в том числе Петербургской академии наук. Историки все времен и народов причисляют к величайшим математикам мира Давида Гильберта и Анри Пуанкаре. В 1904 году ученый издал знаменитую работу, которая содержала предположение, известное на сегодняшний день как «гипотеза Пуанкаре». Именно трехмерное пространство для математиков оказалось очень сложным для исследования, найти доказательства других случаев не составило труда. В течение около одного столетия доказывалась истинность этой теоремы.
В начале ХХІ века в Кембридже была учреждена премия в один миллион долл. США за решение этой научной задачи, которая входила в список проблем тысячелетия. Только российский математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман смог это сделать для трехмерной сферы. В 2006 году за это достижение ему была присвоена медаль Филдса, но он отказался от ее получения.
К заслугам в научной деятельности Пуанкаре можно отнести следующие достижения:
- основание топологии (разработка теоретических основ различных явлений и процессов);
- создание качественной теории дифференциальных уравнений;
- разработка теории аморфных функций, которая стала основой специальной теории относительности;
- выдвижение теоремы о возвращении;
- разработка новейших, эффективнейших методов небесной механики.
Алгоритмическая версия
К теме этой статьи примыкает интересная для компьютерщиков область математики — вычислительная топология. Вычислительные и распознавательные задачи есть, оказывается, и в этой абстрактной науке. С одной из таких задач связана и предпринятая в 1974 году очень интересная попытка решения проблемы Пуанкаре в ее алгоритмической версии.
Каждая трехмерная поверхность задается некоторым (не будем вдаваться в подробности) дискретным кодом — конечным набором символов. Одна и та же поверхность имеет бесконечное число различных кодировок. Естественный вопрос: существует ли алгоритм, определяющий по заданному кодовому слову, задает ли оно трехмерную сферу («алгоритмическая проблема Пуанкаре»). Именно эту задачу атаковали в 1974 году А. Фоменко (тот самый), И. Володин и В. Кузнецов . Они предположили, что определенное свойство кода (оно было названо «волной») дает критерий «сферичности». Однако строго доказать им удалось только, что наличие «волны» гарантирует — перед нами сфера. Доказать же, что в любом коде, задающем сферу, имеется «волна» никак не получалось. Тогда авторы сделали весьма стильный по тем временам ход — провели масштабный компьютерный эксперимент. Была написана программа для машины БЭСМ-6, которая случайным образом генерировала коды, задающие трехмерную сферу, и проверяла наличие в них «волны». В эксперименте, потребовавшем весьма длительного счета, был проверен миллион таких случайных представлений сферы — и во всех обнаружилась волна! С точки зрения здравого смысла — веский аргумент в пользу корректности предложенного алгоритма. Но авторы, будучи серьезными математиками, разумеется, воздерживались от поспешных заявлений. И не напрасно — спустя пару лет один из бывших учеников Фоменко обнаружил контрпример…
Спустя двадцать лет алгоритм распознавания 3-сферы (за экспоненциальное время) был построен. Общая же проблема алгоритмического распознавания поверхностей размерности 3 открыта, она активно изучается и сегодня. Для более высоких размерностей давно известна ее неразрешимость, для размерности 2 она была решена еще раньше, а вот в нашем родном трехмерье все почему-то невероятно сложно устроено.Леонид Левкович-Маслюк
Ошибка на ошибке: история вопроса
Все началось с исследований, которые Пуанкаре вел в области алгебраической геометрии. Он работал над одним из краеугольных камней этой науки — теорией гомологий, особого класса топологических инвариантов. В 1900 году он опубликовал статью, в которой доказывал, что если у трехмерной поверхности гомология совпадает с гомологией сферы, то и сама поверхность — сфера; на самом деле это утверждение даже более сильное, чем утверждение гипотезы Пуанкаре.
Однако в его рассуждения вкралась ошибка, которую он сам и нашел, к 1904 году разработав важнейшее понятие фундаментальной группы и построив на его базе контрпример к собственной теореме. Тогда же он наконец-то поставил вопрос правильно.
Достаточно долго на гипотезу не обращали внимания. Интерес к ней пробудил Генри Уайтхед, который в 1930-е годы объявил о том, что нашел доказательство. Как вы уже догадались, его доказательство также было неверным. Однако в процессе поиска и попыток исправить свои неточности он обнаружил интереснейшие классы трехмерных поверхностей и значительно продвинул теорию, которая позднее получила название топологии малых (или низших) размерностей. В пятидесятые и шестидесятые годы всплеск интереса к проблеме вновь породил несколько ошибочных заявлений о том, что теорему удалось доказать, и после этого математики наконец-то поняли, что гипотезу Пуанкаре так просто не возьмешь: с шестидесятых годов и до работ Григория Перельмана ложные доказательства предъявляли только любители (таких всегда достаточно; не присоединяйтесь к их числу).
Топология низших размерностей стала отдельной ветвью математики по удивительной причине — в многомерном случае все гораздо проще! Уже в 50-е и 60-е годы утверждения, аналогичные гипотезе Пуанкаре, были доказаны для более высоких размерностей. Трехмерный же случай продолжал оставаться камнем преткновения.
Доказательство Григория Перельмана (см. врезку) основано на идеях, которые развил в начале 1980-х годов Ричард Гамильтон (Richard Hamilton). Эти идеи неожиданным образом выводят топологические заключения из фактов о дифференциальных уравнениях — так называемых потоках Риччи (Ricci flows), обобщающих уравнения термодинамики. Впрочем, в доказательстве Перельмана долгое время не могли разобраться ведущие топологи мира, и вряд ли оно когда-нибудь станет темой популярной статьи.
Доказательство гипотезы
Односвязному трехмерному пространству присваиваются геометрические свойства, оно разделяется на метрические элементы, которые имеют расстояния между собой с образованием углов. Для упрощения берется в качестве образца одномерное многообразие, в котором на эвклидовой плоскости к гладкой замкнутой кривой проводятся в каждой точке касательные вектора, равные 1. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, равной кривизне. Чем сильнее изгиб линии, тем больше кривизна. Кривизна имеет положительный наклон, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит линия, и отрицательный, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0. Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Он повернут внутрь, когда кривизна имеет положительный наклон, и вовне – когда отрицательный. Соответствующий вектор определяет направление и скорость, с которой движется каждая точка на плоскости. Если провести в любом месте замкнутую кривую, то при такой эволюции она превратится в окружность. Это справедливо для трехмерного пространства, что и требовалось доказать.
Пример: из воздушного шара при деформации без разрывов можно сделать разные фигуры. Но бублик сделать не получится, для этого его нужно только разрезать. И наоборот, имея бублик, никак не сделаешь цельный шар. Хотя из любой другой поверхности без разрывов при деформации можно получить сферу. Это свидетельствует о том, что эта поверхность гомеоморфна шару. Любой шар можно обвязать ниткой с одним узлом, с бубликом это сделать невозможно.
Шар – это самая простая трехмерная плоскость, которую можно деформировать и свернуть в точку и наоборот.
Что такое файл cookie и другие похожие технологии
Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.
Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.
Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).
Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).